. هندسه نتاری(هندسه مطلق)

  اقلیدس 28 قضیه نخست اصول خود را بر اساس چهار اصل موضوع نخست اثبات کرد و از قضیه 29 بود که استفاده از اصل پنجم آغاز می‌شود. در واقع پس از آن که اصل توازی موجب انشقاق هندسه شد. ریاضی‌دان‌ها هندسه بدون استفاده از اصل توازی ابداع کردند که به آن هندسه نتاری می‌گویند. اگر به خواهیم بر اساس "مبانی هندسه" هیلبرت تعریف خود را گسترش دهیم. هندسه نتاری مربوط به آن قضایای می‌شود که با استفاده از بنداشت‌های وقوع، میانبود، قابلیت انطباق و پیوستگی و بدون استفاده از بنداشت توازی ثابت شوند. یانوش بویویی به این نوع هندسه، هندسه مطلق می‌گفت ، اما پرنوویچ و جردن نام نتاری را برای آن برگزیدند.

. هندسه نااقلیدسى

 در قرن نوزدهم دو ریاضیدان بزرگ به نام «لوباچفسکى» و «ریمان» دو نظام هندسى را صورت بندى کردند که هندسه را از سیطره اقلیدس خارج مى کرد. صورت بندى «اقلیدس» از هندسه تا قرن نوزدهم پررونق ترین کالاى فکرى بود و پنداشته مى شد که نظام اقلیدس یگانه نظامى است که امکان پذیر است. این نظام بى چون و چرا توصیفى درست از جهان انگاشته مى شد. هندسه اقلیدسى مدلى براى ساختار نظریه هاى علمى بود و نیوتن و دیگر دانشمندان از آن پیروى مى کردند. هندسه اقلیدسى بر پنج اصل موضوعه استوار است و قضایاى هندسه با توجه به این پنج اصل اثبات مى شوند. اصل موضوعه پنجم اقلیدس مى گوید: «به ازاى هر خط و نقطه اى خارج آن خط، یک خط و تنها یک خط به موازات آن خط مفروض مى تواند از آن نقطه عبور کند.»

هندسه لوباچفسکی و هندسه ریمانی

  هندسه «لوباچفسکى» و هندسه «ریمانى» این اصل موضوعه پنجم را مورد تردید قرار دادند. در هندسه «ریمانى» ممکن است خط صافى که موازى خط مفروض باشد از نقطه مورد نظر عبور نکند و در هندسه «لوباچفسکى» ممکن است بیش از یک خط از آن نقطه عبور کند. با اندکى تسامح مى توان گفت این دو هندسه منحنى وار هستند. بدین معنا که کوتاه ترین فاصله بین دو نقطه یک منحنى است.

  هندسه اقلیدسى فضایى را مفروض مى گیرد که هیچ گونه خمیدگى و انحنا ندارد. اما نظام هندسى لوباچفسکى و ریمانى این خمیدگى را مفروض مى گیرند. (مانند سطح یک کره) همچنین در هندسه هاى نااقلیدسى جمع زوایاى مثلث برابر با 180 درجه نیست. (در هندسه اقلیدسى جمع زوایاى مثلث برابر با 180 درجه است.) ظهور این هندسه هاى عجیب و غریب براى ریاضیدانان جالب توجه بود اما اهمیت آنها وقتى روشن شد که نسبیت عام اینشتین توسط بیشتر فیزیکدانان به عنوان جایگزینى براى نظریه نیوتن از مکان، زمان و گرانش پذیرفته شد. چون صورت بندى نسبیت عام اینشتین مبتنى بر هندسه «ریمانى» است. در این نظریه هندسه زمان و مکان به جاى آن که صاف باشد منحنى است.

. هندسه اقلیدسی

  علومی که از یونان باستان توسط اندیشمندان اسلامی محافظت و تکمیل شد، از قرون یازدهم میلادی به بعد به اروپا منتقل شد، بیشتر شامل ریاضی و فلسفه ی طبیعی بود. فلسفه ی طبیعی توسط کوپرنیک، برونو، کپلر و گالیله به چالش کشیده شد و از آن میان فیزیک نیوتنی بیرون آمد. چون کلیسا خود را مدافع فلسفه طبیعی یونان می‌دانست و کنکاش در آن با خطرات زیادی همراه بود، اندیشمندان کنجکاو بیشتر به ریاضیات می‌پرداختند، زیرا کلیسا نسبت به آن حساسیت نشان نمی داد. بنابراین ریاضیات نسبت به فیزیک از پیشرفت بیشتری برخوردار بود. یکی از شاخه های مهم ریاضیات هندسه بود که آن هم در هندسه ی اقلیدسی خلاصه می شد.
در هندسه اقلیدسی یکسری مفاهیم اولیه نظیر خط و نقطه تعریف میشود و پنچ اصل به عنوان بدیهیات آن پذیرفته میشود و سایر قضایا با استفاده از این اصول استنتاج می‌شوند.    

  اصول:

 هندسه اقلیدسی بر اساس پنچ اصل موضوع زیر شکل گرفت.
اصل اول : از هر نقطه می‌توان خط مستقیمی به هر نقطه دیگر کشید.
اصل دوم : هر پاره خط مستقیم را می‌توان روی همان خط به طور نامحدود امتداد داد.
اصل سوم : می‌توان دایره‌ای با هر نقطه دلخواه به عنوان مرکز آن و با شعاعی مساوی هر پاره خط رسم کرد.
اصل چهارم : همه زوایای قائمه با هم مساوی‌اند.
اصل پنجم : از یک نقطه خارج یک خط، یک خط و و تنها یک خط می توان موازی با خط مفروض رسم کرد.  

(بیان اقلیدس : اگر خطی دو خط را چنان قطع کند که مجموع زوایای داخلی کمتر از دو قائمه باشد، آن گاه دو خط همدیگر را در همان طرف قطع می کنند.)

  ایراد اصل پنجم  

  اصل پنجم که به اصل توازی معروف است ایجاز سایر اصول را نداشت،جون به هیچوجه واجد صفت بدیهی نبود. در واقع این اصل بیشتر به یک قضیه شباهت داشت تا به یک اصل. بنابراین طبیعی بود که لزوم واقعی آن به عنوان یک اصل مورد سئوال قرار گیرد. زیرا چنین تصور می شد که شاید بتوان آن را به عنوان یک قضیه نه اصل از سایر اصول استخراج کرد، یا حداقل به جای آن می توان معادل قابل قبول تری قرار داد 
  در طول تاریخ ریاضیدانان بسیاری از جمله، خواجه نصیرالدین طوسی، جان والیس، لژاندر، فورکوش بویوئی و ... تلاش کردند اصل پنجم اقلیدس را با استفاده از سایر اصول نتیجه بگیرنر و آن را به عنوان یک قضیه اثبات کنند. اما تمام تلاشها بی نتیجه بود و در اثبات دچار خطا می شدند و به نوعی همین اصل را در اثباط خود به کار می بردند. دلامبر این وضع را افتضاح هندسه نامید.
  یانوش بویوئی یکی از ریاضیدانان جوانی بود که در این راه تلاش می کرد. پدر وی نیز ریاضیدانی بود که سالها در این این مسیر تلاش کرده بود و طی نامه ای به پسرش نوشت: تو دیگر نباید برای گام نهادن در راه توازی ها تلاش کنی، من پیچ و خم این راه را از اول تا آخر می شناسم. این شب بی پایان همه روشنایی و شادمانی زندگی مرا به کام نابودی فرو برده است، التماس می کنم دانش موازی‌ها را رها کنی . ولی یانوش جوان از اخطار پدر نهراسید، زیرا که اندیشه ی کاملاً تازه ای را در سر می پروراند. او فرض کرد نقیض اصل توازی اقلیدس، حکم بی معنی ای نیست. وی در سال 1823 پدرش را محرمانه در جریان کشف خود قرار داد و در سال 1831 اکتشافات خود را به صورت ضمیمه در کتاب تنتامن پدرش منتشر کرد و نسخه ای از آن را برای گاوس فرستاد. بعد معلوم شد که گائوس خود مستقلاً آن را کشف کرده است .
  بعدها مشخص شد که لوباچفسکی در سال 1829 کشفیات خود را در باره هندسه نااقلیدسی در بولتن کازان، دو سال قبل از بوئی منتشر کرده است. و بدین ترتیب کشف هندسه های نااقلیدسی به نام بویوئی و لوباچفسکی ثبت گردید.

. دنیایی با نود و نه سکه طلا !

پادشاهی که یک کشور بزرگ را حکومت می‌کرد ، باز هم از زندگی خود راضی نبود . اما خود نیز علت را نمی‌دانست.
روزی پادشاه در کاخ امپراتوری قدم می زد . هنگامی که از آشپزخانه عبور می‌کرد ، صدای ترانه‌ای را شنید . به دنبال صدا ، پادشاه متوجه یک آشپز شد که روی صورتش برق سعادت و شادی دیده می‌شد .

پادشاه بسیار تعجب کرد و از آشپز پرسید : چرا اینقدر شاد هستی ؟ آشپز جواب داد : قربان ، من فقط یک آشپز هستم . تلاش می‌کنم تا همسر و بچه‌ام را شاد کنم .

ما خانه حصیری تهیه کرده‌ایم و به اندازه کافی خوراک و پوشاک داریم . بدین سبب من راضی و خوشحال هستم . پس از شنیدن سخن آشپز ، پادشاه با نخست وزیر در این مورد صحبت کرد . نخست وزیر به پادشاه گفت : قربان ، این آشپز هنوز عضو گروه ۹۹ نیست . اگر او به این گروه نپیوندد ، نشانگر آن است که مرد خوشبینی است .

پادشاه با تعجب پرسید : گروه ۹۹ چیست ؟ نخست وزیر جواب داد : اگر می‌خواهید بدانید که گروه ۹۹ چیست ، باید چند کار انجام دهید : یک کیسه با ۹۹ سکه طلا در مقابل در خانه آشپز بگذارید . به زودی خواهید فهمید که گروه ۹۹ چیست .

پادشاه بر اساس حرفهای نخست وزیر فرمان داد یک کیسه با ۹۹ سکه طلا را در مقابل در خانه آشپز قراردهند .

آشپز پس از انجام کارها به خانه باز گشت و در مقابل در کیسه را دید . با تعجب کیسه را به اتاق برد و باز کرد . با دیدن سکه های طلایی ابتدا متعجب شد و سپس از شادی آشفته و شوریده گشت . آشپز سکه های طلایی را روی میز گذاشت و آنها را شمرد . ۹۹ سکه ؟ آشپز فکر کرد اشتباهی رخ داده‌است .

بارها طلاها را شمرد . ولی واقعا ۹۹ سکه بود . او تعجب کرد که چرا تنها ۹۹ سکه است و ۱۰۰ سکه نیست . فکر کرد که یک سکه دیگر کجاست ؟ شروع به جستجوی سکه صدم کرد . اتاق ها و حتی حیاط را زیر و رو کرد . اما خسته و کوفته و ناامید به این کار خاتمه داد .

آشپز بسیار دل شکسته شد و تصمیم گرفت از فردا بسیار تلاش کند تا یک سکه طلایی دیگر بدست آورد و ثروت خود را هر چه زودتر به یکصد سکه طلا برساند .

تا دیروقت کار کرد . به همین دلیل صبح روز بعد دیرتر از خواب بیدار شد و از همسر و فرزندش انتقاد کرد که چرا وی را بیدار نکرده‌اند .

آشپز دیگر مانند گذشته خوشحال نبود و آواز هم نمی‌خواند . او فقط تا حد توان کار می‌کرد .

پادشاه نمی‌دانست که چرا این کیسه چنین بلایی برسر آشپز آورده‌است و علت را از نخست وزیر پرسید .

نخست وزیر جواب داد : قربان ، حالا این آشپز رسما به عضویت گروه ۹۹ درآمد . اعضای گروه ۹۹ چنین افرادی هستند : آنان زیاد دارند اما راضی نیستند . تا آخرین حد توان کار می‌کنند تا بیشتر بدست آورند . آنان می‌خواهند هر چه زودتر " یکصد " سکه را از آن خود کنند . این علت اصلی نگرانی‌ها و آلام آنان می‌باشد . آنها به همین دلیل شادی و رضایت را از دست می‌دهند و البته همین افراد اعضای گروه ۹۹ نامیده می‌شوند .

. سن زمین ، سن انسان

فقط تصور کنید که بتوانیم سن زمین را که غیر قابل تصور است، فشرده کنیم و هر صد میلیون سال آن را یک سال در نظر بگیریم!  

در اینصورت کره زمین مانند فردی 46 ساله خواهد بود! که هیچ اطلاعی در مورد هفت سال اول این فرد وجود ندارد و در باره‌ی سال‌های میانی زندگی او نیز اطلاعات کم و بیش پراکنده‌ای داریم!  

اما این را می‌دانیم که در سن 42 سالگی، گیاهان و جنگل‌ها پدیدار شده و شروع به رشد و نمو کرده‌اند.  

اثری از دایناسورها و خزندگان عظیم الجثه تا همین یکسال پیش نبود! یعنی زمین آن‌ها را در سن 45 سالگی به چشم خود دید و تقریبا 8 ماه پیش پستانداران را به دنیا آورد.  

و آخر هفته گذشته دوران یخ سراسر زمین را فرا گرفت.  

انسان جدید فقط حدود 4 ساعت روی زمین بوده و طی همین یک ساعت گذشته کشاورزی را کشف کرده است!  

بیش از یک دقیقه از عمر انقلاب صنعتی نمی‌گذرد و حال ببینید انسان در این یک دقیقه چه بلائی بر سر این بیچاره‌ی 46 ساله آورده است.  

او طی 40 ثانیه بیولوژیکی، از این بهشت یک آشغالدانی کامل ساخته است, او خودش را به نسبت‌های سرسام‌آوری زیاد کرده، و نسل 500 خانواده از جانداران را منقرض کرده است. سوخت‌های این سیاره را مال خود کرده و همه را به یغما برده است.  

و الان مثل کودکی معصوم و بی تقصیر! ایستاده و به این حمله‌ برق آسا نگاه می‌کند.

. سرعت غیر مجاز !

افسر راهنمائی آقایی را به علت سرعت غیرمجاز نگه‌می‌دارد.
افسر: گواهینامه‌تان را ببینم ؟
راننده: گواهینامه ندارم .بعد از پنجمین تخلفم باطلش کردند.
افسر: کارت ماشین‌تان را ببینم ؟
- این ماشین مال من نیست! من این ماشین را دزدیده‌ام !
- این ماشین دزدی است؟
- آره همینطور است ، فکر می کنم وقتی تفنگم را در داشبورد می‌گذاشتم کارت ماشین صاحبش رو دیدم!
- یعنی تو داشبورد تفنگ هست؟
- بله .همان تفنگی که با آن خانم صاحب ماشین را کشتم و بعدش هم جنازه اش را گذاشتم توی صندوق عقب .
- یک جسد در صندوق عقب ماشین هست ؟
بله قربان همینطور هست !

 با شنیدن این حرف افسر سریعا با مافوقش(سروان) تماس می گیرد . طولی نمی کشد که ماشینهای پلیس ماشین مرد را محاصره می کنند و سروان برای حل این قضیه پیچیده به پیش مرد می آید .
سروان: ببخشید آقا ، گواهینامه‌تان را ببینم ؟
مرد: بفرمائید !
گواهینامه مرد کاملا صحیح بود!
سروان: این ماشین مال کیست؟
مرد: مال خودم هست  جناب سروان .این هم کارتش !
اوراق ماشین درست بود و ماشین مال خود مرد بود!
- خیلی آرام داشبورد را باز کنید تا ببینم تفنگی توی آن هست یا نه؟
- جناب سروان مطمئن باشید که تفنگی آن تو نیست !
واقعا هم هیچ تفنگی آنجا نبود !
- صندوق عقب رو  بالا بزنید . به من گفتند که یک جسد آنجاست !
- ایرادی ندارد . 
مرد در صندوق عقب را باز می کند و صد البته که جسدی آن تو نیست !
سروان: من که سر در نمی آورم .افسری که جلوی شما رو گرفته به من گفت که شما گواهینامه ندارید،این ماشین رو دزدیدید ،تو داشبوردتان تفنگ دارید و یک جسد هم توی صندوق عقب هست !
مرد: عجب ! شرط می‌بندم که این دروغگو به شما گفته که من تند هم می‌رفتم . 

. شاهکاری ریاضی از موم

مثالی از کاربردمنشورها در طبیعت

اگر وجود حشره ای می تواند ، با حل سریع یک مسئله ی هندسی ، ما را دچار شگفتی کند ، می توان به آنچه که ساکنین کندوهای عسل ایجاد می کنند ، شاهکارهای ریاضی نامید .
ساختمان شانه های کندو از یک رشته شبکه های مومی شش وجهی تشکیل شده اند که در دو قشر چیده شده اند و با کفهای مشترکی بهم مربوطند .عمق این شبکه 3/11 میلی متر ، عرض هر یک از شش دیواره ی شبکه مساوی 71/2 میلی متر و ضخامت آن مساوی ضخامت یک کاغذ نوشتنی معمولی است .
 

بررسی این مطلب جالب است که چرا زنبور عسل برای مقطع منشور مومی خود ؛ شکل شش گوش را انتخاب کرده است ؟  این نتیجه ی تلاش مصرف کردن حداقل سطح در داخل یک گوشه ی تنگ است . قبل از همه باید چند ضلعی را به این شکل انتخاب کرد تا با تکرار آن بتوان سطح کندو را بدون هیچ فاصله و شکافی پوشانید.

چه شکلهای منتظمی برای این منظورمناسبند ؟ ( البته این موضوع توسط فیثاغورث کشف شد )  این چند ضلعیها عبارتند از : مثلث ، مربع و شش ضلعی . به همین مناسبت زنبورهای هوشمند درباره ی چند ضلعیهای دیگر حتی فکر هم نکرده اند ؛زیرا در این صورت برای پر کردن سطح کندو می بایست از دو یا چند نوع مختلف شبکه استفاده کنند که مستلزم کار پیچیده تر و بیشتری بود . به این ترتیب آنها می توانستند از یکی از این سه نوع شکل استفاده کنند.

و آنها از این سه حالت ممکن ، شش ضلعی را انتخاب کردند . چرا ؟  برای اینکه در بین این سه شکل ، وقتی که مساحتهای مساوی داشته باشند ،شش ضلعی کمترین محیط را دارد . یعنی وقتی که خانه ها را با قاعده ی شش ضلعی می سازند ، با حداقل مصرف موم ، حداکثر حجم رابدست می آورند .

. پیش نویس فصل اول کتاب جدیدالتالیف حسابان

به نقل از گروه درسی ریاضی دفتر برنامه ریزی و تالیف کتب درسی 

==============================================   

پیش نویس فصل اول کتاب جدیدالتالیف حسابان بر روی سایت قرار گرفت . 

برای دریافت فایل پیش‌نویس فصل اول اینجا کلیک کنید.  

*  از  دبیران گرامی و متخصصان و صاحبنظران عزیز خواهشمندیم نظرات و پیشنهادات خود را در ارتباط با این فصل از طریق نشانی پست الکترونیکی گروه ([e-mail]) با ما درمیان بگذارند. 

============================================== 

فهرست این پیش نویس  

. تبریک هفته معلم

 هفته معلم بر همه ره‌پویان راه علم مبارک 

 

. پدر و معلم

      ارسطو  : 

  " پدرم مرا از آسمان به زمین آورد  و  معلم مرا از زمین به آسمان برد . "   

. شعر ، از معلم جان روشن یافتیم

      استاد شهریار :                                                                       

                        می‌توان در سایه آموختن                     گنج عشق  جاودان اندوختن 

                      اول از استاد ، یاد آموختیم                      پس ، سویدای سواد آموختیم 

                         از پدر گر قالب تن یافتیم                      از معلم جان روشن یافتیم   

                   ای معلم چون کنم توصیف تو                      چون خدا مشکل توان تعریف تو 

                      ای تو کشتی نجات روح ما                      ای به طوفان جهالت نوح ما  

                یک پدر بخشنده آب و گل است                      یک پدر روشنگر جان و دل است 

                  لیک اگر پرسی کدامین برترین                      آنکه دین آموزد و علم یقین  

. شعر ، تعظیم استاد

 جامی : 

    کسی گفت : چونی چنین رنج‌بر              به تعظیم استاد بیش از پدر ؟  

     بگفتا : زد آن نقش آب و گلم               وزین تربیت یافت جان و دلم 

   از آن شد تن من پذیرای جان               وزین آمدن زنده و جاودان