. منطق ریاضی ، الف) گزاره

منطق ریاضی

 الف) گزاره
 گزاره (statement) جمله‌ای است خبری که دقیقاً درست یا نادرست باشد، هر چند که درستی یا نادرستی آن بر ما پوشیده باشد. به این ترتیب جملات امری،پرسشی و عاطفی نمی‌توانند به عنوان یک گزاره تلقی بشوند و بعلاوه همه جملات خبری هم نمی‌توانند گزاره باشند.

به عنوان مثال جمله«37 عددی اول است» یا «2>3» همگی جملات خبری هستند و یک گزاره‌اند ولی جمله‌ خبری «سعدی شاعر خوبی است.» نمی‌تواند یک گزاره تلقی شود چرا که درستی یا نادرستی آن دقیقاً معین نمی‌باشد(بر حسب سلیقه تغییر می‌کند). همچنین جملات عاطفی و امری و پرسشی همچون «چه گل زیبایی!» یا «لطفا درب را باز کنید» و یا «آیا 155 بر پنج بخشپذیر است؟» نمی‌توانند یک گزاره باشند چرا که نمی‌توان بر روی آنها ارزش درستی یا نادرستی قرار داد و اساساً ارزش گذاری آنها بی‌معنی خواهد بود.

 گزاره را با حروفی همچون ...,p,q,r,s نشان می‌دهیم. هر گزاره درست را با «د» ،«T»، «1» نشان می‌دهیم (T حرف اول کلمه true به معنی "درست" است) و هر گزاره نادرست را با «ن» ،«0» ،«F» نشان می‌دهیم (F حرف اول کلمه false به معنی نادرست است). درستی یا نادرستی یک گزاره را ارزش آن گزاره می‌گوییم. یک گزاره چون p را یک گزاره ساده می‌گوییم و گزاره‌ای را که از ترکیب دو یا چند گزاره بوجود می‌آید گزاره مرکب می‌گوییم. گزاره‌های مرکب را معمولاً با حروف بزرگ انگلیسی چون P,Q,R,S نشان می‌دهیم. در ادامه در مورد ترکیب گزاره ها توضیح داده می‌شود.

•حال به عنوان تمرین می‌خواهیم تعیین کنیم کدام یک از عبارات زیر گزاره هستند:
◦ عدد بزرگی است.
◦فصل پاییز دل انگیز است!
◦4->7-

{2^{100}+1} عددی اول است.

•بررسی عبارت اول: این عبارت یک گزاره نمی‌باشد. چرا که درستی یا نادرستی آن دقیقاً مشخص نیست و ممکن است از دیدگاه‌های مختلف درست یا نادرست باشد.
•بررسی عبارت دوم: این عبارت گزاره نمی‌باشد. چرا که اولاً یک جمله عاطفی است(گزاره جمله‌ای خبری است) و همچنین ارزش آن دقیقاً مشخص نیست و بسته به سلیقه افراد می‌تواند درست یا نادرست باشد.
•بررسی عبارت سوم: این عبارت یک گزاره است چرا که یک جمله خبری است و درستی و نادرستی آن کاملاً مشخص است.
•بررسی عبارت چهارم: این عبارت یک گزاره است چرا که درستی و نادرستی آن دقیقاً قابل تعیین است(چگونه؟).

 گزاره‌ای را که از شی یا اشیا خاصی خبر دهد گزاره شخصی می‌گوییم و گزاره‌ای که خبری در مورد هر چیز از دسته معینی از اشیا می‌دهد گزاره کلی می‌گوییم. همچنین یک گزاره جزیی یا وجودی گزاره‌ای است که خبر می‌دهد در میان دسته ای از اشیا حداقل یک شی وجود دارد که خاصیتی خاص را دارد.

 رابطه بین گزاره‌ها
 گزاره‌های هم ارز
 دو گزاره ساده یا مرکب P و Q دارای یک ارزش باشند یعنی برای همه حالات منطقی هر دو درست یا نادرست باشند گزاره P را هم ارز منطقی یا به طور ساده هم ارز گزاره Q می‌گوییم و می‌نویسیم:

 لازم به توضیح است که دو گزاره که هم ارز منطقی باشند در منطق ریاضی یکسان تلقی خواهند شد. معمولا برای تعیین ارزش و هم ارز بودن دو گزاره از جدولی به نام جدول ارزش(truth table) استفاده می‌کنیم که در ادامه نحوه استفاده از آن را توضیح می‌دهیم. 

 منبع:رشد

ادامه دارد