.:. به وبلاگ انجمن علمی و آموزشی معلمان ریاضی استان آذربایجان‌ غربی خوش آمدید .:. . سری فیبوناتچی - انجمن علمی و آموزشی معلمان ریاضی استان آذربایجان‌ غربی

. سری فیبوناتچی

 سری فیبوناتچی 

 

 در سال ۱۲۰۲ لئونارد فیبوناچی (Leonardo Fibonacci) توانست به یک سری از اعداد دست پیدا کند که بعدها بعنوان پایه برای بسیاری از رابطه‌های فیزیک و ریاضی استفاده شد، کافی است از عدد صفر و یک شروع کنید. آنها را کنار هم بگذارید و عدد بعدی را از جمع کردن دو عدد قبل بدست آورید، بسادگی به این رشته از اعداد خواهید رسید:

. . . ،0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144

 البته برخی از ریاضیدانان عدد صفر را جزو رشته فیبوناچی نمی‌دانند و یا حداقل آنرا جمله صفرم سری می‌دانند. 

 

نکته‌ای که تعجب برانگیز است آنکه اگر از عدد سوم نسبت اعداد این سری را به عدد قبلی حساب کنیم خواهیم داشت :

1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, 34/21, 55/34, 89/55, 144/89, ...

و یا :

1, 2, 1.5, 1,666, 1.6, 1,625, 1.6153, 1.6190, 1.6176, 1.6181, 1.6179 , ... 

 

 بنظر می‌رسد که این رشته به سمت همان عدد طلائی معروف میل می‌کند. بگونه‌ای که اگر نرخ عدد چهلم این رشته را به عدد قبلی حساب کنیم به عدد 1.618033988749895 می‌رسیم که با تقریب 14 رقم اعشار نسبت طلایی را نشان می‌دهد.

بعدها محاسبات و استدلال های ریاضی نشان داد که این سری همگرا به سمت نسبت طلایی می‌باشد. 

  معمای زاد و ولد خرگوش
 در واقع فیبوناچی در سال 1202 به مسئله عجیبی علاقمند شد. او می‌خواست بداند اگر یک جفت خرگوش نر و ماده داشته باشد و رفتاری برای زاد و ولد آنها تعریف کند در نهایت نتیجه چگونه خواهد شد. فرضیات اینگونه بود :

- شما یک جفت خرگوش نر و ماده دارید که همین الآن بدنیا آمده‌اند.
- خرگوشها پس از یک ماه بالغ می‌شوند.
- دوران بارداری خرگوشها یک ماه است.
- هنگامی که خرگوش ماده به سن بلوغ می رسد حتما" باردار می‌شود.
- در هر بار بارداری خرگوش ماده یک خرگوش نر و یک ماده بدنیا می‌آورد.
- خرگوش ها هرگز نمی‌میرند.

حال سئوال اینجاست که پس از گذشت یکسال چه تعداد خرگوش نر و چه تعداد خرگوش ماده خواهیم داشت؟


 لئوناردو فیبوناچی ایتالیایی حدود سال 1200 میلادی مساله ای طرح کرد : فرض کنید که یک جفت خرگوش نر و ماده در پایان هر ماه یک جفت خرگوش نر و ماده جدید بدنیا بیاورند ... اگر هیچ خرگوشی از بین نرود , در پایان یک سال چند جفت خرگوش وجود دارد؟

فیبوناچی تصمیم گرفت برای محاسبه تعداد انها Fn را تعداد جفتها در شروع ماه N ام فرض کند.
پس F1 =1 و F2 =2 خواهد بود ... چون در شروع ماه اول فقط یک جفت اصلی وجود دارد...اما با شروع ماه دوم جفت اول جفت دوم را درست می‌کند.
سپس او متوجه شد که با شروع ماه N ام جفت‌ها به دو گروه تقسیم می‌شوند: Fn-1 تعداد جفت‌های قدیمی و تعداد جفت‌های جدید پس از N-1 ماه است .چون جفت جدید پس از یک ماه تولید می‌شود و بعد از یک ماه دیگر اولین جفت خود را تولید می‌کند ... تعداد جفت‌های جدید برابر تعداد جفت‌های دو ماه قبل است که با Fn-1 نشان داده می‌شود .
پس :

Fn= Fn-1 + Fn-2

با استفاده از این فرمول و مقادیر اولیه F1 =1 و F2 =2 میتوان تعداد جفت‌ها را پس از یک سال بدست آورد و نوشت F12=233 .
با یک توافق عمومی مقادیر اولیه از 1 و 1 بجای 1و 2 شروع می‌شود (بطوری که جمله های دنباله بصورت زیر نوشته می‌شوند)

... ,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233 
 

 پس پاسخ این سئوال را در ابتدای مطلب بیان کرده‌بودیم. 

 منبع:رشد