. تربیع دایره

 تربیع دایِره، یکی از مسائل دیرین هندسی. به زبان امروزی، مسئلۀ تربیع دایره یافتنِ رابطه‌ای است برای مساحت دایره برحسب قطر یا شعاع آن، اما در نظر ریاضی‌دانان یونانی که مساحت هر شکل را معمولاً بر حسب مساحت شکلِ داده‌شده‌ای بیان می‌کردند، تربیع دایره عبارت بود از یافتن مربعی که مساحت آن مساوی با مساحت دایرۀ مفروضی باشد.

 گذشته از این، ریاضی‌دانان یونانی، دست کم تا قرن 4ق‌م می‌خواستند این مسئله را تنها با استفاده از خط‌کش و پرگار حل کنند. به این اعتبار، تربیع دایره، در کنار تثلیث زاویه و تضعیف مکعب ، از مسائل «لاینحلِ» ریاضیات قدیم محسوب می‌شد. اما برخلاف آن دو مسئله، تربیع دایره تنها موضوع بحث ریاضی‌دانان نبوده، بلکه فلاسفه نیز از آن سخن گفته‌اند. گذشته از این، مسئلۀ تربیع دایره با یافتنِ نسبتِ محیط دایره به قطر آن (یعنی عدد π) نیز ارتباط دارد.
 ریاضی‌دانان‌ یونانیِ قرنهای 5 و4ق‌م، از 3 راه برای تربیع دایره کوشیده‌اند. یکی از این 3 راه به بروسون فرزند هِرُدُروسِ هِراکْلِئایی منسوب است که تاریخ زندگی‌اش معلوم نیست، اما احتمالاً معاصرِ افلاطون بوده است. دیگری راه حلِ بقراط خیوسی ریاضی‌دانِ قرن 5ق‌م است. راه حل سوم از آنتیفون سوفسطایی است که دربارۀ او نیز اطلاع اندکی داریم. اوتوکیوس عسقلانی در شرح خود بر «تکسیر دایرۀ» ارشمیدش، از کسانی که پیش از ارشمیدس سعی در تربیع دایره داشته‌اند ــ و ازجمله از بقراط خیوسی و آنتیفون ــ نام برده است .
 اطلاع ما از این 3 راه حل عمدتاً از راه بحثهایی است که در آثار ارسطو و شارحان او و فیلسوفان اسلامی دربارۀ آنها شده است؛ زیرا از همان آغاز به نظر می‌آمد که دست کم مشکل برخی از این 3 راه حل بیش از آنکه هندسی باشد، فلسفی است. ارسطو می‌گوید که هرچند رد تربیع دایره از راه استفاده از «پاره‌ها» کار هندسه‌دانان است، اما رد استدلال آنتیفون کار ایشان نیست و تلویحاً دلیل این امر را این می‌داند که در این استدلال از مقدمات طبیعی استفاده شده است . عموماً منظور ارسطو از تربیع دایره با استفاده از پاره‌ها را همان استدلال بقراط خیوسی می‌دانند ، اما، چنان‌که خواهیم دید، فیلسوفان دربارۀ این راه حل نیز بحث کرده‌اند.
 ارسطو در «تحلیلهای دومین2» و «رد بر سفسطه‌گران3» به راه حل بروسون ــ که در جای دیگری او را سوفسطایی خوانده ــ اشاره کرده است. وی وارد جزئیات اثبات بروسون نمی‌شود، بلکه بر او ایراد می‌گیرد که این قضیه را بر مبنای مقدمات بیش از اندازه کلی اثبات کرده است؛ به این معنی که مقدماتی که در اثبات خود به کار برده، اختصاص به هندسه نداشته است، در حالی که به نظر ارسطو، «نمی‌توان چیزی را جز از روی مبانی ]خاص[ آن ثابت کرد». منظور ارسطو از این تذکرْ درست روشن نیست. احتمالاً او مقدمات استدلال بروسون را واجد دیگر شرایطی که مقدمات برهان باید داشته باشند، می‌دانسته است و تنها به این سبب بر او ایراد گرفته که مقدماتی که به کار برده، مختص هندسه نبوده است.
 اجمال سخن ارسطو باعث شده است که مفسرانِ او و فلاسفۀ دیگر در این‌باره بسط سخن دهند. فارابی مقدماتی را که بروسون به کار برده بوده، غیر ذاتی و کلی دانسته، و از این‌رو، بیان او را «جدلی» شمرده، و گفته است که هندسه‌دانان به این‌گونه بیانها توجهی ندارند .
 ابن‌سینا نیز، در سفسطۀ شفا به برهان بروسون اشاره کرده، و آن را به این دلیل که در آن از مقدمات «خارجی غیر مناسب» استفاده شده، «قیاس خارجی جدلی» خوانده و گفته است که در کتاب برهانِ شفا نیز از این موضوع سخن گفته است. وی از راه حل آنتیفون نیز در حل این مسئله یاد کرده، و آن را نیز به این دلیل که در آن از مقدمات خارجی استفاده شده، نادرست شمرده است.
 با این حال، ابن‌ سینا در کتاب برهانِ شفا، راه دیگری برای اثبات نادرستیِ استدلال بروسون عرضه می‌کند. وی نخست، منظور ارسطو را توضیح می‌دهد و می‌گوید که هرچند شاید قیاسی که بروسون برای تربیع دایره آورده، بر مقدمات صادق و بدیهی و کلی استوار بوده، اما برهان هندسی محسوب نمی‌شده است، زیرا این مقدمات «مناسب» نبوده‌اند. به نظر ابن‌ سینا، بروسون چنین استدلال کرده بوده است که دایره را مثلاً می‌توان به مثلثهایی تجزیه کرد و می‌توان مربعی مساوی با هریک از این مثلثها پیدا کرد. بنابراین، مربعی می‌توان یافت که مساوی مجموع این مثلثها باشد، و این مربع مساوی با دایره خواهد بود. به گفتۀ ابن‌ سینا، بروسون در توضیح منظور خود 3 مقدمه آورده بوده است: 1. دایره از هر چندضلعی محاط در آن بزرگ‌تر است؛ 2. دایره از هر چندضلعی محیط بر آن کوچک‌تر است؛ 3. پس دایره مساوی با شکلی است که از هر چندضلعیِ محیط بر آن کوچک‌تر و از هر چندضلعیِ محاط در آن بزرگ‌تر باشد. بنابراین، چندضلعی‌ای مساوی با دایره یافت می‌شود.
 اگر تربیع دایره را به معنای یافتن فرمولی برای مساحت دایره بگیریم، تاریخ این مسئله بسیار قدیم است. این اندیشه که نسبت محیط دایره به قطر آن مقدار ثابتی است، بسیار کهن است. در برخی از آیات تورات، این نسبت تلویحاً 3 فرض شده است، در نخستین متن ریاضیات چینی ــ که به احتمال زیاد در قرن 8 ق‌م نوشته شده ــ برای این نسبت همین مقدار آمده است . اما اقوام دیگر مقدار این نسبت را دقیق‌تر می‌شناختند. هرچند دلیلی در دست نیست که مصریان باستان در ساختن اهرام از مقدار دقیقی برای π استفاده کرده باشند ، با این حال، از متونی که از نیمۀ هزارۀ دوم پیش از میلاد به دست ما رسیده است، معلوم می‌شود که ریاضی‌دانان مصری و بین‌النهرینی و ایرانی مقادیر دقیق‌تری برای π می‌شناخته‌اند. در پاپیروس مصری «اَحمِس»، مقدار π برابر با اختیار شده است . در میان الواحی که باستان‌شناسان فرانسوی در شوش کشف کردند، جدولی هست که در آن مقادیر ثابت مربوط به چندضلعیهای منتظم درج شده است. از مقایسۀ مقادیری که در این جدول برای محیط شش‌ضلعی منتظم و دایره داده شده با رابطۀ مقدار تقریبی به دست می‌آید . همچنین ریاضی‌دانان چینی نیز از حدود قرن 1م مقادیر دقیق‌تری برای π به کار برده‌اند. در «نُه فصل در فن ریاضی» که در اوایل دوران میلادی تألیف شده، و یکی از مهم‌ترین متون ریاضیات چینی است، مقدار 14/3=π آمده است ؛ تسو چونگ چیه مقدار 14/3=π را غیردقیق دانسته، و به جای آن مقدار را پیشنهاد کرده که بسیار دقیق‌تر است .
 به‌رغم نظر هیث، کوششهای کسانی چون آنتیفون در حل مسئلۀ تربیع دایره در یافتن فرمولی برای مساحت دایره تأثیر مستقیم نداشته است. در واقع نخستین فرمول دقیق برای مساحت دایره در قضیۀ دوم از مقالۀ دوازدهم اصول اقلیدس آمده است. در این قضیه ثابت می‌شود که نسبت مساحت دو دایره مثل نسبت مربعهای قطرهای آنها ست. در این اثبات از قضیۀ اول از مقالۀ دهم استفاده شده است که می‌گوید: اگر دو مقدارِ مساوی داشته باشیم و از مقدار بزرگ‌تر بیش از نیم آن را برداریم و از باقی‌مانده نیز بیش از نیم آن را برداریم و این کار را به اندازۀ کافی ادامه دهیم، سرانجام به جایی می‌رسیم که باقی‌مانده از مقدار کوچک‌تر کمتر خواهد بود.

حسین معصومی همدانی
منبع : دانشنامه بزرگ اسلامی