. ثابت کاپرکار

  ثابتی که گاهی اوقات زیر آبی می رود!  

 در سال ۱۹۴۹ یک ریاضی‌دان  هندی به نام «کاپرکار» ویژگی جالبی را در اعداد کشف و در مقاله‌­­ای در همان سال منتشر کرد . او کشف خود را این طور توضیح داده‌بود : یک عدد چند رقمی انتخاب کنید (مثلا ۸۹۵۲) ، ارقام آن را یک بار به صورت نزولی مرتب کنید (۹۸۵۲) و  یک بار هم به صورت صعودی (۲۵۸۹) ، تا «بزرگترین» و «کوچکترین» عدد ، با همان ارقام حاصل آید.

تفاضل این دو عدد را بدست آورید (۷۲۶۳) و با این عدد نیز همان کاری را بکنید که با عدد انتخابی خود کردید . یعنی ارقام آن را به صورت نزولی و بعد به صورت صعودی مرتب کنید (۷۶۳۲ و ۲۳۶۷) و تفاضل آنها را بدست آورید و این کار را چند مرتبه دیگر هم تکرار کنید ؛ با کمال تعجب خواهیددید که همیشه به یک عدد ثابت خواهیدرسید . اگر رقم انتخابی شما چهار رقمی بوده‌باشد، عدد ثابتی که همواره در عاقبت به آن می‌رسید ۶۱۷۴ خواهدبود . این عدد را «ثابت کاپرکار برای چهار رقمی‌ها» می‌گویند . این آزمایش را با یک عدد سه رقمی یا پنج رقمی هم انجام دهید ؛ خواهیددید که برای هر عدد nرقمی یک «ثابت کاپرکار» ویژه وجود دارد که تغییرناپذیر است .     

 از آن تاریخ تاکنون ، و به ویژه در سال‌های اخیر و با استفاده از رایانه ، تحقیقات زیادی روی این یافته شده و نتایج جالبی هم بدست آمده است . مثلا معلوم شده که دقیقاً ۶۳ عدد سه رقمی هستند (مثل ۲۱۲، ۷۸۷ و . . . ) که این خاصیت را ندارند و در نهایت به صفر منتهی می‌شوند ، در حالی که سایر اعداد سه رقمی ظرف حداکثر ۶ چرخه به عدد ۴۹۵ (ثابت کاپرکار برای سه رقمی ها) می‌رسند . همچنین معلوم شده‌است که دقیقاً ۷۷ عدد چهار رقمی هستند (مثل ۴۵۴۴ و ۵۵۵۶ و . . .) که این خاصیت را ندارند و باز به صفر منتهی می‌شوند ، درحالی که بقیه اعداد چهار رقمی ظرف حداکثر هشت چرخه به عدد ۶۱۷۴ (ثابت کاپرکار برای چهار رقمی‌ها) می‌رسند .     

 به راستی چرا این اتفاقات روی می‌دهند و چگونه می‌توان این همه نظم و آن همه بی‌نظمی را توضیح داد؟ آیا در همه آن بی نظمی‌ها خود نظمی نهفته نیست که هنوز بر ما پوشیده‌است؟ شگفتی‌ها و زیبایی‌های ریاضیات پایانی ندارند . تحقیقات ریاضی‌دانان و جستجوگران دائما پرده از روی آنها بر می‌دارد و جلوه دیگری از رازهای درون آنها را آشکار می‌کند ، رازهایی که همواره در طی قرون برای بشر جذاب و تحسین برانگیز بوده‌اند. 

منبع:مجله‌دانشمند